¿Qué es la paradoja del cumpleaños? (Un acertijo que puedes poner a pruebas con tus amigos)

¿Qué tan grande debe ser un grupo para que existan los “gemelos de cumpleaños”?

Aquí hay un acertijo divertido: ¿Qué tan grande debe ser un grupo aleatorio de personas para que haya un 50% de posibilidades de que al menos dos de las personas compartan un cumpleaños? La respuesta es 23, lo que sorprende a mucha gente. ¿Cómo es esto posible?

Al reflexionar sobre esta pregunta, conocida como el “problema del cumpleaños” o la “paradoja del cumpleaños” en estadística, muchas personas adivinan intuitivamente 183, ya que es la mitad de todos los cumpleaños posibles, dado que generalmente hay 365 días en un año. Desafortunadamente, a la intuición a menudo le va mal en este tipo de problema estadístico.

“Me encantan este tipo de problemas porque ilustran cómo los humanos generalmente no son buenos con las probabilidades, lo que los lleva a tomar decisiones incorrectas o sacar malas conclusiones”, Jim Frost, un estadístico que ha escrito tres libros sobre estadísticas y es columnista habitual del Resumen estadístico de la Sociedad Estadounidense de Calidad, le dijo a WordsSideKick.com en un correo electrónico. “Además, muestran cuán beneficiosas pueden ser las matemáticas para mejorar nuestras vidas. Por lo tanto, los resultados contrarios a la intuición de estos problemas son divertidos, pero también tienen un propósito”.

Para calcular la respuesta al problema del cumpleaños, Frost comenzó con algunas suposiciones. Primero, descartó los años bisiestos , ya que eso simplifica las matemáticas y no cambia mucho los resultados. También asumió que todos los cumpleaños tienen las mismas posibilidades de ocurrir.

Si comienzas con un grupo de dos personas, la probabilidad de que la primera persona no cumpla años con la segunda es 364/365. Como tal, la probabilidad de que compartan un cumpleaños es 1 menos (364/365), o una probabilidad de alrededor del 0,27 %.

Si asume un grupo de tres personas, las dos primeras personas cubren dos fechas. Esto significa que la posibilidad de que la tercera persona no comparta un cumpleaños con los otros dos es 363/365. Como tal, la probabilidad de que todos compartan un cumpleaños es 1 menos el producto de (364/365) veces (363/365), o una probabilidad de aproximadamente 0,82 %.

Cuantas más personas haya en un grupo, mayores serán las posibilidades de que al menos un par de personas compartan un cumpleaños. Con 23 personas, hay una probabilidad del 50,73 %, anotó Frost. Con 57 personas, hay una probabilidad del 99%.

“He recibido mensajes de profesores universitarios de estadística que harán una apuesta de $20 sobre dos personas que comparten un cumpleaños en una clase de estadística en particular”, dijo Frost. “Dadas las probabilidades asociadas con el problema del cumpleaños, él sabe que prácticamente tiene la garantía de ganar. ¡Pero cada semestre, los estudiantes siempre hacen la apuesta y pierden! Afortunadamente, dice que devuelve el dinero, pero luego les enseña cómo resolver el problema del cumpleaños”. problema.”

Puede haber varias razones por las que la respuesta al problema del cumpleaños parezca contraria a la intuición. Una es que las personas pueden calcular inconscientemente cuáles son las posibilidades de que alguien más en un grupo tenga su cumpleaños, a diferencia de la pregunta real, que es si alguien en un grupo comparte un cumpleaños, dijo Frost.

“Segundo, creo que también comienzan con algo como, bueno, hay 365 días en un año, por lo que probablemente necesite alrededor de 182 personas para una probabilidad del 50%”, dijo Frost. “Pero lo más importante es que subestiman significativamente la rapidez con que aumenta la probabilidad con el tamaño del grupo. La cantidad de posibles parejas aumenta exponencialmente con el tamaño del grupo. Y los humanos son terribles cuando se trata de comprender el crecimiento exponencial”.

El problema del cumpleaños está conceptualmente relacionado con otro problema de crecimiento exponencial, señaló Frost. “A cambio de algún servicio, suponga que le ofrecen pagar 1 centavo el primer día, 2 centavos el segundo día, 4 centavos el tercero, 8 centavos, 16 centavos, y así sucesivamente, durante 30 días”. Dijo Frost. “¿Es un buen negocio? La mayoría de la gente piensa que es un mal negocio, pero gracias al crecimiento exponencial, tendrá un total de $ 10,7 millones en el día 30”.